1、这种悖论属于语义悖论。悖论的种类还有循环悖论等。此处从略。
2、值得指出的是，希尔伯特所说的公理不是我们通常认为的公理，而是经过了彻底的形式化。他们存在于一门叫做元数学的分支中。元数学与一般数学理论的关系有点像计算机中应用程序和普通文件的关系。
3、集合论的出现，为近代数学的发展提供了有力的工具。就在数学家踌躇满志的时候，集合论中出现了悖论。康托尔自己就发现了康托尔悖论（包含一切集合的集合是否存在？），更严重的是罗素悖论，其中涉及的是以自己为元素的集合。这被称为“第三次数学危机”。后来这种定义被公理排斥掉了，危机得以解决。
4、本命题是不可证明的。
5、第一不完全定理
6、如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人。但是，招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。
7、“两难”与“悖论”
8、任意一个包含算术系统在内的形式系统中，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被否定。
9、一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。
10、第二不完备性定理
11、第一不完备性定理
12、任意一个包含算术系统的形式系统自身不能证明它本身的无矛盾性。
13、悖论就是逻辑上的自相矛盾。
14、虽然与悖论打了几千年交道，可数学家们不觉得他们可怕，因为他们与数学无关。直到20世纪，一小撮聪明人才隐约觉察到，在悖论中有着一些深刻的数学理论。
15、悖论：指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。 悖论的成因极为复杂且深刻， 对它们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。 其中最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托悖论等等。能推出两个相互矛盾结论的原命题。
16、莱布尼茨太超前了，没能完成他的夙愿。又过了200年，著名学者康托尔提出集合论，为统一数学提供了一线希望。
17、希尔伯特的计划也确实有一定的进展，几乎全世界的数学家都乐观地看着数学大厦即将
18、最古老的悖论是两千多年前的“说谎者悖论”，若你说它是假命题的话，就可推出它是真命题，反之亦然。其最简形式就是：
19、指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。
20、两难问题：就是50%问题。之所以称其为“两难”，难就难在有两种可能的选择，无论哪一种选择，都有利有弊。这类问题的特征是，无论你的决定是什么，都会失去另一半，做了决定，你也只能期望得到50%。但不做决定，你失去的将是100%。能否解决两难问题，体现了一个人解决问题的最高境界。解决两难问题，必须遵循以心换心的原则，真心对人,诚心对事，争取“双赢”，力求“全胜”。在某些原则问题上不能妥协，在具体操作中又要体现灵活性。对事，要坚持原则；对人，却要讲究人情。
21、因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。
22、但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。
23、第二不完全定理
24、这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。
25、事情要从崇尚理性的文艺复兴时期谈起，当时的学者如笛卡儿、莱布尼茨等都想创造一个理论解决一切问题。莱布尼茨甚至设想把逻辑学用数学符号表示，以后每逢争论，拿支笔一算就见分晓了。事实证明，莱布尼茨的对符号逻辑的建立起了很大作用。
26、世纪20年代，在集合论不断发展的基础上，大数学家希尔伯特向全世界的数学家抛出了个宏伟计划，其大意是建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪，这叫做公理体系的“完备性”；希尔伯特还要求公理体系保持“独立性”（即所有公理都是互相独立的，使公理系统尽可能的简洁）和“无矛盾性”（即相容性，不能从公理系统导出矛盾）。
27、如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
28、设系统S包含有一阶谓词逻辑与初等数论，如果S是一致的，则下文的T与非T在S中均不可证。